Yacas

Yacas (Yet Another Computer Algebra System) は、コンソールで動作する小さくて柔軟性に富むコンピュータ代数言語 (インタープリタ) です。シンボリックな計算が可能で、分数の計算、多項式の計算、微分や積分、テーラー展開などが簡単にできます。もちろん、普通の算術計算も任意の桁数で計算できます。

(右図をクリックすると大きく表示します。)

作者: Ayal Pinkus さん
ホームページ: http://yacas.sourceforge.net/
バージョン: 1.0.53rev2 (2002/08/17)
ライセンス: GPL
付属ドキュメントを読む

[2007/02/02]
以下の内容は古いものです。最新の情報は Yacas のホームページを参照して下さい。

使い方

インストールしたら、適当なターミナル・エミュレータから yacas と入力します。

$ yacas
[editvi.ys] [unix.ys] 
True;
Numeric mode: "Internal"
To exit Yacas, enter  Exit(); or quit or Ctrl-c. Type ?? for help.
Or type ?function for help on a function.
Type 'restart' to restart Yacas.
To see example commands, keep typing Example();
In>

Yacas はインタープリタですから、

$ yacas ファイル名

としてプログラムをファイルから読み込むことができますが、引数を付けない場合はターミナルから対話的に使うことができます (bash などと同じですね)。キーボードからの入力は、bash と同じような行編集機能、ヒストリー機能を備えています。

入力プロンプト

In>

が出て来たら、手始めに 1 + 2 を計算してみましょう。

In> 1 + 2
Out> 3;

出力は "Out> " で示されます。

Yacas の本領は代数的な計算です。例えば、

In> 1/2 + 1/3
Out> 5/6;

この結果を数値で欲しいときは N() という関数を使います。直前の結果は % で参照できます。

In> N(%)
Out> 0.8333333333;

桁数は Precision() 関数で任意に指定できます。

In> Precision(1000)
Out> True;
In> N(Sqrt(2))

で 2 の平方根を 1000 桁計算できます。数値計算が目的の場合は専用の関数が用意されています。平方根の計算ならは MathSqrt() を使えば N(Sqrt()) よりも速く計算できます。

In> MathSqrt(2)
Out> 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784
...

数式の計算もできます。

In> (a+b)^2
Out> (a+b)^2;
In> Simplify(%)
Out> a^2+2*a*b+b^2;
In> PrettyForm(%)

 2                2
a  + 2 * a * b + b 

Out> True;

方程式を解くこともできます。

a + x·y = z

を x について解いてみます。

In> Solve(a+x*y==z,x)
Out> (z-a)/y;

連立方程式

11x + 3y = 1, 2x + y = 0

を解いてみます。

In> Solve({11*x+3*y==1,2*x+y==0},{x,y})
Out> {{1/5,(-2)/5}};

微分、積分は次のようにします。

In> D(x) x*Sin(x)
Out> x*Cos(x)+Sin(x);
In> Integrate(x,a,b)Sin(x)
Out> Cos(a)-Cos(b);

今度は 24 と 36 の最大公約数および最小公倍数、120 の素因数分解を求めてみましょう。

In> Gcd(24,36)
Out> 12;
In> Lcm(24,36)
Out> 72;
In> Factor(120)
Out> 2^3*3*5;

式の因数分解も素因数分解と同じように行います。 x² + 2x - 3 を因数分解すると

In> Factor(x^2+2*x-3)
Out> (x-1)*(x+3);

複素数も使えます。虚数単位 i として定数 I が定義されています。

In> I
Out> Complex(0,1);
In> I^2
Out> -1;
In> (1+I)*(1-I)
Out> 2;

定数 Pi も定義されています。

In> N(Pi,50)
Out> 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751;
In> Sin(Pi/3)
Out> Sqrt(3/4);

ベクトルや行列、一般的なリストも扱うことができます。
そのほか、Example() を実行するとランダムにいくつかの実行例を見ることができます。

Yacas はプログラミング言語ですから変数をセットしたり関数を定義したりできます。infix オペレータを定義することも可能です。変数名、関数名は大文字小文字の区別があります。長さには特に制限はありません。

In> a := 4
Out> 4;
In> f(x) := 2*x^2
Out> True;
In> f(a)
Out> 32;

処理フローの制御には If()、While()、Until()、 For()、ForEach()などがあります。

グラフのプロットは gnuplot を使います。次の例は sin(1/x) を x の範囲 [-1,1] で描きます。

In> Plot2D(Sin(1/x), -1:1)
Out> True;

これで gnuplot が起動して次のようなウィンドウが現れます。

Yacas のヘルプコマンドは ?? です。デフォルトではコンソールベースの Web ブラウザ Lynx が使われます。 Lynx は MLD7 の DVD-ROM、MLD6 の Disc4、MLD5 の Disc3 に収録されています (同時に indexhtml パッケージが必要です)。 Mozilla/Galeon など一般的なブラウザに設定することもできますが、いずれにしろ ?? でドキュメントを読んでいる間 Yacas でのコマンド入力はできなくなりますから、ブラウザを単独で起動して

    file:///usr/share/yacas/documentation/books.html

を読むほうがいいでしょう。

インストール

LinuxMLD 5,6,7 用の RPM yacas-1.0.53rev2-1_mlb1.i386.rpm (1,185,568 bytes) をインストールします。
rpm コマンドでインストールするにはスーパーユーザになって

# rpm -i yacas-1.0.53rev2-1_mlb1.i386.rpm

とします。
MLD 5,6 では Gnome の GUI でインストールすることもできます。

パッケージの更新履歴

[2002/12/28] yacas-1.0.53rev2-1_mlb1.i386.rpm: 1.0.46 と比べると安定度が向上し、実行速度の改善も図られているようです。 embedding Yacas のためのライブラリが含まれるようになって RPM のサイズはかなり大きくなってしまいました。
[2001/04/19] yacas-1.0.46-1_mlb1.i386.rpm: 1.0.44 からの変更点は yacas のホームページで Change log を御覧ください。

その他

emacs で使うための YacasNotebook もあります。

参考

類似アプリケーション

Maxima for Symbolic Computation Program. (GPL)
本格的な数式処理システムである DOE Macsyma を Common Lisp で実装したもの
- 数式処理システム Maxima -- 山内さん
- Maximaで遊ぼう -- 横田さんの数値・数式処理関連のページ
MuPAD -- The Open Computer Algebra System
フリーではありません~~が教育機関や個人のユーザは登録だけで無料で使用できるようです~~ (ライセンスが変更になっているようです)。
- 数式処理 MuPAD 入門 -- 平田さん
- MuPAD -- 示野さん
- MuPAD for Linux -- 奥村さん
- MuPAD -- a computer algebra system -- 降旗さん
Risa/Asir -- 日本で生まれた数式処理ソフト
富士通研究所で開発され、非営利的な利用では無料です。
MaTX -- 数値及び数式計算をサポートするプログラミング言語
九州工業大学の古賀さんの開発によるフリーソフトウェア (営利目的の配布は禁止)
Kalamaris -- Mathematica-like application for KDE. (GPL)
PARI-GP -- a software package for computer-aided number theory. (GPL)
数論のための有理数演算パッケージ (ライブラリとインタプリタ)
- PARI/GPについての情報 -- 木村さん